581 Получить последовательность d
k, d
k-1, ..., d
0
десятичных цифр числа 2
200, т.е такую целочисленную последовательность, в которой каждый член
d
j удовлетворяет условию 0 ≤ d
j≤ 9 и, дополнительно, d
k10
k + d
k-110
k-1 + ... + d
0 = 2
200.
582 Получить последовательность d
-1, d
-2, ..., d
-k
десятичных цифр числа 2
-200, т.е. такую целочисленную последовательность, в которой каждый
член d
j удовлетворяет условию 0 ≤ d
j ≤ 9 и, дополнительно,
d
-110
-1 + d
-210
-2 + ... + d
-k10
-k = 2
-200.
583 Получить последовательность d
k, d
k-1, ..., d
0
десятичных цифр числа 100!, т.е.такую целочисленную последовательность, в которой каждый член
d
j удовлетворяет условию 0 ≤ d
j ≤ 9 и, дополнительно,
d
k10
k + d
k-110
k-1 + ... + d
0 = 100!.
584 Получить последовательность d
k, d
k-1, ..., d
0
десятичных цифр числа:
a) 100! + 2100;
б) 100! - 2100,
т.е. получить такую целочисленную последовательнность, в которой каждый член d
i удовлетворяет условию
0 ≤ d
i ≤ 9 и, дополнительно, d
k10
k + d
k-110
k-1
+ ... + d
0 равно 100! + 2
100 или соответственно 100! - 2
100.
585 Дано натуральное число p. Получить двоичное представление числа p в виде
последовательности a
0, ..., a
n нулей и едениц такой, что p = a
n2
n
+ ... + a
12 + a
0 (a
nне равно 0).
586 Даны натуральные числа p, q (q ≥ 2). Получить q-ичное представление
числа p в виде такой последовательности a
0, ..., a
n целых неотрицательных чисел, что
a
i<q; (i = 0, ..., n) и p = a
nq
n + ... + a
1q + a
0
(a
nне равно 0).
587 Даны действительное число x, натуральное число q (0 ≤ x < 1, q ≥ 2).
Получить пять цифр q-ичного представления числа x, т.е. получить последовательность целых неотрицательных
a
-1, ..., a
-5 такую, что x = a
-1 q
-1 + ... + a
-5
q
-5 + r, 0 ≤ a
i≤q-1, r<q
-5.
588 Дано натуральное число p. Получить последовательность a
0, ...,
a
n, каждый член которой равен -1, 0 или 1, такую, что p = a
n3
n + ... +
a
13 + a
0 (a
nне равно 0).
589 Даны натуральное число n, целые числа a
0, ..., a
n
такие, что каждое a
i равно нулю или единице и a
n ≠ 0. Последовательность
a
0, ..., a
n задает двоичное предстовление некоторого целого числа
p = a
n2
n + ... + a
12 + a
0. Получить последовательность нулей
и едениц задающую двоичное представление:
a) числа p + 1;
б) числа p - 1;
в) числа 3p.
590 Получить все меньшие 10
6 натуральные числа, которые являются
палиндромами (см. задачу
563) как в десятичной, так и в двоичной
системах.
591 Дано натуральное число m. Найти такое натуральное n, что двоичная запись
n получается из двоичной записи m изменением порядка цифр на обратный (m задано в десятичной системе, и n
надо также получить в десятичной системе, например, для m = 6 получается n = 3).
592 Дано натуральноe число n. Требуется получить последовательность, которая
состоит из нулей и семерок и образует десятичную запись некоторого натурального числа, делящегося на n.
(Воспользоваться тем, что в числовой последовательности 7, 77, 777, ... обязательно найдутся два члена,
дающие при делении на n один и тот же остаток).
593 Дано натуральное число m (m < 27). Получить все трехзначные натуральные
числа, сумма цифр которых равна m.
594 Получить все шестизначные счастливые номера. (Про целое число n,
удовлетворяющее условию 0 ≤ n ≤ 999999, говорят, что оно представляет собой счастливый номер,
если сумма трех его первых цифр равна сумме трех его последних цифр; если в числе меньше шести цифр, то
недостающие начальные цифры считаются нулями).
595 Даны взаимно простые натуральные числа p, q (p < q). Найти периодическую и
не переодическую части (две последовательности одназначных неотрицательных чисел, разделенных числом -1)
десятичной дроби, равной p/q.
596 Получить все четырехзначные натуральные числа, в записи которых нет двух
одинаковых цифр.
597 Даны натуральные числа n, m, неотрицательные целые числа a
m,
a
m-1, ..., a
0 такие, что a
m, a
m-1, ..., a
0-запись
n в некоторой системе счисления (среди a
m, a
m-1, ..., a
0 могут быть и
числа, большие девяти, -это будет означать, что основание системы счисления заведомо больше десяти).
Требуется определить основание использованной системы счисления.
598 Даны натуральное число n, действительные числа a
1, ...,
a
n(a
i не равно 0, i = 1, ..., n). Знаки чисел в каждой из троек a
i,
a
i + 1, a
i + 2 (i = 1, ..., n-2) могут образовать одну из следующих комбинаций:
+ + + , + + -, + - + , + --, - + + , - + -, -- + , ---. Получить целое B
0, ...,
B
7, равные количествам вхождений в последовательность a
1, ..., a
n
указанных троек a
i, a
i + 1, a
i + 2, с той или иной комбинацией знаков.
599 В последовательности действительных чисел а
0, a
1, …,
a
10 выбрать подпоследовательность a
i1, a
i2, ..., a
ik
(0 ≤ i
1 < i
2< ... < i
k ≤ 10), для которой значение
sin(a
i1 + a
i2 + a
ik) является наибольшим. (Перебрать
все подпоследовательности данной последовательности путем рассмотрения всех последовательностей
b
0, b
1 , ..., b
10 из нулей и единиц: а
i входит в
подпоследовательность, если b
i = 1. Использовать решение задачи 589а.)
600 Дано натуральное число n; представить его в двоично-десятичной системе
счисления. Последнее означает, что надо получить последовательность двоичных цифр-нулей и единиц; при этом
первые четыре двоичные цифры дают запись (в виде двоичного числа) первой (старшей) десятичной цифры числа n,
следующие четыре двоичные цифры-запись второй десятичной цифры числа n и т.д. Таким образом, общее число
двоичных цифр должно делиться на 4. Примеры: если n = 93, то двоично-десятичная запись n есть 10010011;
если n = 607, то - 011000000111 и т.д.
601 Даны натуральное число m, двоичные цифры b
1, ..., b
4m.
Рассматривая последовательность b
1, ..., b
4m как запись некоторого натурального n в
двоично-десятичной системе (см. предыдущую задачу), найти натуральное n в десятичной системе.
602 Доказать, что любое натуральное число n можно единственным способом
представить с помощью некоторых целых неотрицательных d
0, ..., d
s в виде
d
s(s + 1)! + d
s-1s! + ... + d
12! + d
0 при условии, что 0
≤ d
i ≤ i + 1, i = 0, ..., s, d
sне равно 0.
Дано натуральное число n; найти соответствующие d
s, d
s-1, ...,
d
0.
603 В качестве основания позиционной системы может быть взято отрицательное целое
число. Например, можно рассмотреть систему с основанием -10. Любое целое n единственным образом представляется
в виде суммы a
s(-10)
s + a
s-1(-10)
s-1 + ... + a
1(-10) +
a
0, где 0 ≤ a
i ≤ 9, i = 0, ..., s. Из сказанного следует, что любое целое n
записывается в системе с основанием -10 в виде целого числа без знака a
sa
s-1...
a
1a
0.
Дано целое число n. Построить представление
n в системе с основанием -10, т.е. найти соответствующие a
s, a
s-1, ...,
a
0.
604 Рассмотрим последовательность натуральных чисел w
0, w
1,
..., образованную по следующему закону: w
0 = 1, w
1 = 2, w
k = w
k-1
+ w
k-2 (k = 2, 3, ...). Эта последовательность-сдвинутая последовательность чисел Фибоначчи
(см. задачу
144) w
0 = u
2, w
1 =
u
3, w
2 = u
4. Последовательность w
0, w
1, ...-это
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Доказать, что любое натуральное n можно единственным способом представить с
помощью некоторых неотрицательных целых b
0, ..., b
t в виде b
tw
t +
b
t-1w
t-1 + ... + b
0w
0 при условии, что 0 ≤ b
i
≤ 1, i = 0, ..., t; b
t ≠ 0. При этом две еденицы не могут стоять рядом: если b
i
= 1, то b
i + 1 = 0 (i = 0, ..., t-2).
Дано целое
неотрицательное число n; найти соответствующие b
t, b
t-1, ..., b
0.
605 "Римские цифры".
a) Проверить, правильна ли запись числа римскими цифрами.
б) Записать данное целое число из диапазона от 1 до 1999 римскими цыфрами.
в) Перевести число, записанное римскими цыфрами, в десятичную систему.
Предыдущая глава